[최단 경로] 개념 정리

• 최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미함
• 다양한 문제 상황
  • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
  • 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
  • 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
• 각 지점은 그래프에서 노드로 표현
• 지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

 

1. 다익스트라 최단 경로 알고리즘

• 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산함
• 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작함
  • 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않음
• 그리디 알고리즘으로 분류됨
  • 매 상황에서 가장 비용이 최소인 노드를 선택해 임의의 과정을 반복함

 

 

# 동작 과정

1. 출발 노드를 설정한다.

2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.

3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다. (최단 거리 테이블에서 찾는 것임)

4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.

5. 위 과정에서 3 & 4번을 반복한다.

 

 

# 특징

• 위의 3번에서 선택된 노드까지의 최단 거리는 고정됨 (더이상 출발 노드부터 해당 노드까지의 최단 거리가 감소하지 않음)
• 알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 출발 노드로부터 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있음
  • 완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 함
• 처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 해당 정보를 갱신함 

 

 

# 구현 방법 

1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 순차 탐색함

2. 구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드 (이 방법을 정확히 이해하고 구현할 수 있을 때까지 연습해야함!)

• 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용함
• 기본 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일함
  • 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다름
  • 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용함 

 

 

# 자료구조 개념

1. 우선순위 큐(Priority Queue)

• 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조 (개념적)
• 예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야하는 경우에 우선순위 큐를 이용할 수 있음
• 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원함
• 리스트 / 힙(Heap) 으로 구현할 수 있음

 

2. 힙(Heap)

• 우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나임
• 최소 힙(Min Heap : 값이 낮은 데이터가 먼저 삭제) & 최대 힙(Max Heap : 값이 큰 데이터가 먼저 삭제) 이 있음
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용됨 
• 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선 방문하므로 최소 힙 구조를 기반으로 사용하면 됨 

우선순위 큐 구현 방식	삽입 시간	삭제 시간
리스트	O(1)	O(N)
힙(Heap)	O(logN)	O(logN)

 

 

# 코드

import java.util.*;

class Node implements Comparable<Node> {

    private int index;
    private int distance;

    public Node(int index, int distance){
        this.index = index;
        this.distance = distance;
    }

    public int getIndex(){
        return this.index;
    }

    public int getDistance(){
        return this.distance;
    }

    @Override
    public int compareTo(Node other){
        if(this.distance < other.getDistance()){ // 오름차순 정렬
            return -1;
        }
        return 1;
    }
}

public class Main {

    public static final int INF = (int) 1e9; // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
    // 노드의 개수(numOfNode), 간선의 개수(numOfEdge), 시작 노드 번호(start)
    public static int numOfNode, numOfEdge, start;
    // 그래프를 인접 리스트 형태로 구현
    public static ArrayList<ArrayList<Node>> graph = new ArrayList<>();
    // 최단 거리 테이블
    public static int[] d = new int[100001]; // 노드의 개수는 최대 100,000개라고 가정

    public static void dijkstra(int start){
        PriorityQueue<Node> pq = new PriorityQueue<>();
        // 시작노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 우선순위 큐에 삽입
        pq.offer(new Node(start, 0));
        d[start] = 0;
        while(!pq.isEmpty()){
            // 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
            Node node = pq.poll();
            int dist = node.getDistance();
            int now = node.getIndex();
            //현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 패스
            if(d[now] < dist) continue;
            // 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들 확인
            for(int i = 0; i < graph.get(now).size(); i++){
                int cost = d[now] + graph.get(now).get(i).getDistance();
                // 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
                if(cost < d[graph.get(now).get(i).getIndex()]){
                    d[graph.get(now).get(i).getIndex()] = cost;
                    pq.offer(new Node(graph.get(now).get(i).getIndex(), cost));
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args){
        Scanner kbd = new Scanner(System.in);

        numOfNode = kbd.nextInt();
        numOfEdge = kbd.nextInt();
        start = kbd.nextInt();

        // 그래프 초기화
        for(int i = 0; i <= numOfNode; i++){
            graph.add(new ArrayList<>());
        }

        // 모든 간선 정보 입력 받기
        for(int i = 0; i < numOfEdge; i++){
            int a = kbd.nextInt();
            int b = kbd.nextInt();
            int c = kbd.nextInt();
            // a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용 = c
            graph.get(a).add(new Node(b, c));
        }

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        Arrays.fill(d, INF);

        // 다익스트라 알고리즘 수행
        dijkstra(start);

        // 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
        for(int i = 1; i <= numOfNode; i++){
            if(d[i] == INF) System.out.println("INFINITY"); // 도달할 수 없는 경우
            else System.out.println(d[i]);
        }
    }

}


/*
[Input Example]
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2

[Output Example]
0
2
3
1
2
4
*/

 

# 개선된 구현 방법 성능 분석

• 힙 자료구조를 이용한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV) 임
• 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않음
  • 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 수행될 수 있음
• 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사함
  • 시간 복잡도를 O(ElogE)로 판단할 수 있음
  • 중복 간선을 포함하지 않는 경우(→, ← 만 포함하는 경우)에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있음
    • O(ElogE) → O(ElogV²) → O(2ElogV) → O(ElogV)
    • E < V²

---

2. 플로이드 워셜 알고리즘 

• 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산함
• 다익스트라 알고리즘과 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행함
  • 다만 매 단계마다 방문하지 않은 노드 중에 최단 거리를 갖는 노드를 찾는 과정이 필요하지 않음
• 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장함
• 다이나믹 프로그래밍 유형에 속함
• 각 단계마다 특정한 노드 K를 거쳐 가는 경우를 확인함
  • a → b로 바로가는 최단 거리보다 a → k → b로 가는 거리가 더 짧은지 검사함 

K번의 단계에 대한 점화식

 

# 코드

import java.util.*;

public class Main {
    public static final int INF = (int) 1e9;  // 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

    // 노드의 개수, 간선의 개수 
    // 노드 개수는 최대 500개로 가정 
    public static int numOfNode, numOfEdge;

    // 2차원 배열의 그래프 
    public static int[][] graph = new int[501][501];

    public static void main(String[] args){
        Scanner kbd = new Scanner(System.in);

        numOfNode = kbd.nextInt();
        numOfEdge = kbd.nextInt();

        // 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
        for(int i = 0; i < 501; i++){
          Arrays.fill(graph[i], INF);
        }

        // 자기 자신 -> 자기 자신 으로 가는 비용은 0으로 초기화 
        for(int a = 1; a <= numOfNode; a++){
          for(int b = 1; b <= numOfNode; b++){
            if(a == b)  graph[a][b] = 0;
          }
        }

        // 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
        for(int i = 0; i < numOfEdge; i++){
          // A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
          int a = kbd.nextInt();
          int b = kbd.nextInt();
          int c = kbd.nextInt();
          graph[a][b] = c;
        }

        // 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘 수행
        for(int k = 1; k <= numOfNode; k++){  // 건너가는 각 노드  
          for(int a = 1; a <= numOfNode; a++){
            for(int b = 1; b <= numOfNode; b++){
              graph[a][b] = Math.min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b]);
            }
          }
        }

        // 수행 결과 출력 (2차원 배열 출력)
        for(int a = 1; a <= numOfNode; a++){
          for(int b = 1; b <= numOfNode; b++){
            if(graph[a][b] == INF){
              System.out.println("INFINITY ");
            }
            else{
              System.out.println(graph[a][b] + " ");
            }
            System.out.println();
          }
        }
    }
}

 

# 성능 분석

• 노드의 개수가 N개일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행함
  • 각 단계마다 O(N²)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려함
• 플로이드 워셜 알고리즘의 총 시간 복잡도는 O(N³) 임

 

 

 

참고) 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬